出資しないと役員（取締役や監査役）になれませんか？

なれます。

会社設立を行う者を『発起人』と言いますが、基本的に発起人は設立時発行株式を1株以上引き受けなければないとされています。
つまり、発起人は出資をして株主になるということです。

一方、会社設立に際して取締役になる者を「設立時取締役」と言いますが、当該取締役は発起人が選任するとされています（その他監査役等も同様です）。
つまり、会社設立に際して、発起人は出資することになりますが、（設立時）取締役は出資する必要はありません。

株式会社は所有（株主）と経営（取締役等）は分離していると言われますが、出資（株主）しなくても役員になることが可能ということです。

なお、1人で起業するという方は、まず自分が発起人にもなり取締役にもなるというパターンが多いですが、もちろんそのような形態も可能です。